Progressão Geométrica

Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

· Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)
Observamos que:
4 = 2 x 2
8 = 4 x 2
16 = 8 x 2
- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);

· Representação Matemática:
q = a_n / a_n-1

· Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q <>

· Termo Geral da P.G.:
- a₂ = a₁ x q
- a₃ = a₂ x q ou a₃ = a₁ x q²
a_n = a₁ . q^n-1

· Três números em P.G.:

x/q , x , x.q

· Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a₆ = a₁ .q⁵
243= 1.q⁵
q = 3
Logo: (1,3,9,27,81,243);

· Soma dos Termos de uma P.G. finita:

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-1

· Soma dos Termos de uma P.G. infinita:

- Se expressões do tipo qⁿ quando: 0 n = 0 (Aproximadamente)
Sn = a₁ / 1-q

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução: n= 6

a₁ = 2

a₆ = 486

a₆ = a₁.q⁵

486 = 2 . q⁵

q = 3

Resposta: q = 3

2) Ache a progressão aritmética em que:

a₁ + a₂ + a₃ = 7

a₄ + a₅ + a₆ = 56

Resolução:

transformando, temos:

a₁ + a₁ .q + a₁. q² = 7 Þ a₁ (1 + q + q² ) = 7 I

a₄ + a₅ + a₆ = 56 Þ a₁.q³(1 + q + q² ) = 56 II

Dividindo-se II por I :

q³ = 8 Þ q = 2

de I vem:

a₁ (1 + 2 + 4) = 7 Þ a₁ = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3) Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:

a₁ = 3

a_n = 48

n = 3 + 2 = 5

Devemos, então, calcular q:

a_n = a₁.q^n-1

48 = 3 . q⁴

q = ±2

Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)

Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)

4) Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

Resolução:

a₁ = x

q = 3x/x= 3

a_n = 729x

S_n= 5465

Cálculo de n:

a_n= a₁q ^n-1

729x = x . 3 ^n-1 (veja que x ¹ 0)

729 = 3 ^-1

3⁶ = 3 ^n-1

n = 7

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-

5465 = x (3⁷ ? 1)/ (3 ? 1)

x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)

a₁ = 0,31

q = 0,01

S_n = a₁ / 1-q

S_{n =} 0,31/1-0,01

S_n= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99

Assista o vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=YYzPJxyw1-0 e http://www.youtube.com/watch?v=Vb5zPnJYzmk

Referências Bibliográficas:

Comunidade Fichário Online

Como surgiu a noção de número

Quando enfrentamos situações em que queremos saber "quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como surgiram os números?
Para responder a essa pergunta precisamos ter uma idéia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.
Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros de um grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população aumentava e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades.
Foi então que ele começou a cultivar plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás.
Os pastores de ovelhas tinham necessidades de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras.
Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência um a um.
Fazer correspondência um a um é associar a cada objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê, o homem resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência um a um. A correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o surgimento da noção de número.
Afinal, alguma coisa em comum existia entre o monte de pedras e o grupo de ovelhas: se a quantidade de pedras correspondia exatamente à quantidade de ovelhas, esses dois conjuntos tinham uma propriedade comum: o número de ovelhas ou pedras.
Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do que seus próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.
Entretanto, surgiu um novo problema: levantar dedos permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido levantados. Separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas não era muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.

Os primeiros registros de números

Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.
Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto.

Assista o vídeo:http://www.youtube.com/watch?v=Qh6wS2MWXLU