Equações exponenciais

Logaritmos

Site: Equacionando

Olá, devido ao sucesso do blog, criamos um site para que possamos deixar uma opção de estudo para nossos alunos e nossos amigos de trabalho. Conferida acessando www.equacionando.com.br o seu portal de matemática.

Obrigado

Prof. Sidney

Projeto: Brasil, o país do futebol

Projeto desenvolvido com alunos do 3º ano do Ensino Médio do colégio Cellula Mater.

Tema: Expectativa Brasileira da Copa do Mundo de 2010

Segue em anexo algumas fotos do nosso projeto elaborado pelos alunos do 3º EM orientados por mim.

  

Saímos nas cidades de Praia Grande, São Vicente e Santos coletando dados para a realização da pesquisa quantitativa que teve como tema: Expectativa Brasileira da Copa do Mundo de 2010, em equipe organizamos as amostras em uma tabela composta por frequência absoluta e frequência relativa, fazendo uso do EXCEL para a construção do gráfico de setores. Ao termino de tal pesquisa montamos o mesmo gráfico em escala diferente (maior) para a exposição de diretores, coordenadores, professores, pais, alunos e a todas as pessoas que direta ou indiretamente participaram dessa pesquisa.

É de extrema importância destacarmos que sem uma boa equipe não seria possível a realização dessa pesquisa, obrigado a todos que participaram do trabalho. (alunos do 3ºEM)

                                                                                                                                             Prof. Sidney

 

Alunos do Colégio Jean Piaget - SV

Oficina de Poliedros

 

 

 

 

Alunos do 7º ano do Ensino Fundamental 

Alunos do Colégio Jean Piaget - SV

Oficina de Poliedros

Alunos do 6º ano do Ensino Fundamental II

Material usado para a realização da oficina:

• 
  
  Canudinho
• 
  
  Palito de Churrasco
• 
  
  Bolinha de Isopor 

Como estudar matemática?

A Matemática é, relativamente, fácil e interessante. Mas, para que ela se apresente assim para o aluno, será preciso:

• 
  
  prestar muita atenção nas aulas, pedindo esclarecimentos, sempre que for necessário;

• 
  
  fazer os exercícios de classe, solicitando ajuda do professor, sempre que precisar;

• 
  
  corrigir os exercícios de classe para que estejam todos certos em seu caderno ou apostila na hora de revê-los para a prova;

• 
  
  rever os pré-requisitos básicos;

• 
  
  usar rascunho para fazer as operações;

• 
  
  organizar os cálculos com capricho;

• 
  
  não tentar memorizar os conteúdos e sim, compreendê-los, pois só desta maneira se aprende a raciocinar;

• 
  
  ao chegar em casa, começar por revisar a aula a que assistiu, copiar o enunciado dos exercícios já feitos, tentar refazê-los sozinho e conferir os resultados. Somente depois disso, passar a fazer os exercícios de casa;

• 
  
  resolver as expressões por partes e lembrar-se de substituir os resultados parciais;

com relação aos PROBLEMAS:

• 
  
  lê-los, com atenção, até entendê-los perfeitamente;

• 
  
  encontrar ligação entre o que é dado e o que é pedido;

• 
  
  buscar diferentes caminhos para resolvê-los, planejando sua solução através de esquemas, perguntas, fórmulas, etc;

• 
  
  não se dar por vencido até encontrar um caminho e, então, iniciar sua resolução;

• 
  
  conferir se os dados foram copiados corretamente;

• 
  
  efetuar os cálculos com a máxima atenção;

• 
  
  revisar os cálculos, pois a maioria dos erros nos problemas está nas operações;

• 
  
  reler a pergunta, para respondê-la adequadamente.

Você já deve ter perguntado a si mesmo (ou ao professor ...);

Para que eu devo estudar Matemática?"

Há três respostas possíveis:

• 
  
  a Matemática permite que você conheça melhor a realidade;
• 
  
  a Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios;
• 
  
  a Matemática pode ajudar você a fazer descobertas,

Este blog e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida.

O caminho para o conhecimento é você quem faz.

Desafios

Desafio 1

35T3 P3QU3N0 T3XTO 53RV3 4P3N45 P4R4 M05TR4R COMO NO554 C4B3Ç4 CONS3GU3 F4Z3R CO1545 1MPR3551ON4ANT35! R3P4R3 N155O! NO COM3ÇO 35T4V4 M310 COMPL1C4DO, M45 N3ST4 L1NH4 SU4M3NT3 V41 D3C1FR4NDO O CÓD1GO QU453 4UTOM4T1C4M3NT3, S3M PR3C1S4R P3N54R MU1TO, C3RTO? POD3 F1C4R B3M ORGULHO5O D155O! SU4 C4P4C1D4D3 M3R3C3! P4R4BÉN5!

Desafio 2

Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma.

Desafio 3

Determine o próximo número da sequênciâ?

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...

Desafio 4

Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

Desafio 5

Quantos noves existem entre 0 e 100?

Desafio 6

Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.

Desafio 7

Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:Olá minhas 100 pombinhas.
Uma delas respondeu:
Não somos 100 não meu caro gavião,
seremos 100, nós, mais dois tantos de nós
e mais você meu caro gavião.
Quantos pombos há neste grupo?

Desafio 8

Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.

Exercícios: operações com números naturais (IN)

1) Em um ônibus cabem 35 pessoas sentadas e 20 pessoas em pé. Quantas pessoas cabem dentro deste ônibus?

Dentro deste ônibus cabem____pessoas.
Operação utilizada:_______

2) Maisa tem 15 balas e quer dividir igualmente essas balas em 3 pessoas.Quantas balas cada pessoa irá ficar?

Cada pessoa irá ficar com_____balas.
Operação utilizada:______

3) Um prédio tem 5 andares, cada andar tem 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm neste prédio?

Neste prédio tem______apartamentos.
Operação utilizada:________

4) Gabriel comprou um saco com 20 balas. Ele deu 14 balas pra sua prima. Com quantas balas Gabriel ficou?

Gabriel ficou com______balas.
Operação utilizada:_______

5) Luiza tem 40 papéis de carta e Marina tem 60. Quantos papéis de carta Marina têm a mais que Luiza?

Marina tem_____papéis de carta a mais que Marina.
Operação utilizada:_______

6) Mirella tem 12 bombons e ganhou mais 13 bombons da sua tia. Com quantos bombons Mirella ficou?

Mirella ficou com_____bombons.
Operação utilizada:________

7) Carolina tem 12 anos, e sua irmã Camila tem o dobro da sua idade. Quantos anos Camila têm?

Camila tem____anos.
Operação utilizada:_______

Lista de exercícios - Equação do 1º grau

Prof. Esp. Sidney Santos
Colégio Jean Piaget
Nome: Ano:

1) Determine as raízes das equações de primeiro grau abaixo:

a) 18x - 43 = 65

b) 10y - 5(1+y) = 3(2y-2)

c) 4x + 2 = 12

d) 5/x - 2 = 1/4

2) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

3) (FUVEST) Se x(1 - x) = 1/4, então:

4) Se (x - 2)/y = 4 e y -1 = 0, então x é?

em construção

Donald no país da matemática

em construção

História: linha do tempo

1800 a.C. – Os sumérios, habitantes do Oriente Médio, desenvolvem o mais antigo sistema numérico conhecido. Em vez dos dez algarismos de hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. É por isso que uma hora, desde então, é dividida em 60 minutos, e o dia e a noite têm 12 horas (12 é a quinta parte de 60). Pelo mesmo motivo, o ano é dividido em 12 meses. Já na geometria, o círculo tem 360º, que é seis vezes 60.

520 a.C. – O matemático grego Eudoxo de Cnido (400?-350? a.C.) cria uma definição para os números irracionais. São frações que não podem ser escritas na forma usual, como quatro quintos (quatro dividido por cinco) ou três quartos. Um exemplo é a raiz quadrada de 2; não existem dois números que, divididos um pelo outro, dêem esse resultado. Para escrever esse número é preciso usar infinitos algarismos. De maneira aproximada, ele vale 1,4142135.

300 a.C. – A geometria da Antiguidade chega ao ápice com o grego Euclides. Vivendo em Alexandria, ele sistematiza todos os conhecimentos acumulados até então por seu povo nos dois séculos anteriores, além de diversos teoremas que ele mesmo demonstra. O resultado é o livro Elementos.

250 – Fugindo da tradição grega, que era centrada na geometria, Diofante (século III) inicia um estudo rigoroso de diversos problemas numa área da matemática hoje chamada de álgebra. Uma questão típica algébrica (muito simples): se um homem tem certa idade e seu filho, de 5 anos, a metade dessa idade menos cinco anos, quantos anos tem o pai? Em forma matemática, essa pergunta se escreveria: x = x/2-5.

500 – O algarismo zero até essa época sempre fica subentendido ao se escrever um número que precise dele (como o 10, no sistema atual). Um indiano, cujo nome se perdeu na história, cria um símbolo para o zero. Os árabes começam a usá-lo por volta do ano 700. Em 810, ele aparece explicitamente num texto do sábio Muhammad ibn Al-Khwarizmi (780-850).

1202 – O matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170?-1240) é o primeiro europeu a usar os algarismos arábicos, que são empregados atualmente para escrever os números. Até então, os europeus utilizavam os algarismos romanos, como o I (que vale 1), o V (5) e o X (10). Fibonacci também adota o zero, que os europeus já conheciam, mas, na prática, não empregavam.

1535 – Encontra-se um método para resolver as equações algébricas de terceiro grau. São aquelas em que a incógnita aparece elevada ao cubo, como na equação x3 + 1 = 0. A autoria da fórmula é disputada por dois italianos: Niccolò Tartaglia (1499-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576).

1545 – Primeira sugestão de que certas contas podem ter como resultado um número negativo. A proposta causa espanto porque, na época, parece absurdo algo ser menor que nada, ou seja, zero. O italiano Geronimo Cardano, no entanto, usa os novos números para resolver problemas como o de alguém que gastou mais do que possui no banco, tendo então saldo negativo. Assim, ele resolve equações que até então ficavam sem resposta.

1551 – Surge a trigonometria, que facilita muito os cálculos, especialmente os celestes, em que é preciso somar, diminuir ou multiplicar valores de ângulos. A trigonometria estabelece regras que transformam os ângulos em números comuns. Exemplo: em vez de um ângulo de 30º, pode-se falar no seno de 30, que vale 0,5. O criador do novo cálculo é o alemão Georg Joachim Iserin von Lauchen (1514-1576), conhecido como Rético, aluno do astrônomo polonês Nicolau Copérnico.

1591 – O francês François Viète (1540-1603) abandona a prática de escrever matemática por meio de palavras. Até então as equações, os números e as incógnitas eram apresentados por extenso, de maneira trabalhosa e confusa. Viète passa a representar suas equações utilizando como símbolos as letras do alfabeto. Uma soma, por exemplo, fica assim: x+y = z. Isso torna a resolução de problemas extremamente mais fácil.

1614 – Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês John Napier (1550-1617). O logaritmo simplifica cálculos muito trabalhosos por meio do uso de expoentes, como 2 ao cubo, que significa 2 vezes 2, vezes 2. Ou seja, 8.


1637 – Surge a geometria analítica, desenvolvida pelo filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1596-1650). A nova disciplina é uma espécie de mistura entre a álgebra e a geometria, pois Descartes ensina a transformar pontos, retas e circunferências em números. Depois mostra como fazer contas com as figuras geométricas. Na geometria analítica, um ponto pode ser escrito como um par de números na forma (1, 2). Uma reta pode ser uma equação como x + y = b.

1654 – O cálculo das probabilidades é criado pelos matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662), que também era físico. Curiosamente, eles desenvolvem esse novo ramo da matemática quase como uma diversão, a partir de um problema levado a eles por um jogador de dados, Chevalier de Mere. De Mere pergunta se é possível prever os resultados de um jogo. Os matemáticos dizem que sim – pelo menos em certas circunstâncias e até certo ponto.

1669 – O físico inglês Isaac Newton (1642-1727) inventa o cálculo diferencial e integral. Com ele torna-se possível calcular a área ou o volume de qualquer figura geométrica, não importa a sua forma. Até então, para cada figura era preciso criar uma fórmula diferente.

1685 – Criação dos chamados números imaginários. Eles aparecem quase como um complemento dos números negativos. Durante muito tempo, ninguém sabe dizer qual seria a raiz quadrada de -1 (menos um). Essa conta não dá -1, pois -1 é raiz de 1 (porque -1 vezes -1 é 1). Ela também não dá 1, que também é raiz de 1. O inglês John Wallis (1616-1703) resolveu a questão criando um número, chamado i, que é a raiz quadrada de -1. Quer dizer que i vezes i dá -1. O i é o mais simples dos números imaginários, que, apesar do nome, são tão verdadeiros quanto os outros números.

1744 – A família de números transcendentais entra para o mundo da matemática encontrada pelo suíço Leonard Euler (1707-1783). Euler estuda as chamadas equações algébricas, que possuem, por exemplo, a forma x2+x+1= 0. Percebe que elas têm todos os tipos de solução: números inteiros, imaginários, irracionais, frações etc. Mas nenhuma equação dessa categoria jamais dá, por exemplo, uma resposta igual a p (3,1416...). Hoje se sabe que existem infinitos números que nunca podem ser solução de uma equação algébrica. São os chamados transcendentais.

1822 – O desenvolvimento da geometria projetiva abre caminho para a geometria moderna. Esse novo ramo de estudo analisa as formas geométricas de vários ângulos diferentes. Assim, uma pirâmide vista de cima aparece como um quadrado; vista de lado torna-se um triângulo. Seu criador é o francês Jean Victor Poncelet (1788-1867).

1824 – O norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) descobre que é impossível resolver as equações de quinto grau. Durante anos, os matemáticos haviam procurado uma fórmula para chegar a um resultado. São equações em que a incógnita vem elevada à quinta potência, na forma x5+x4+x3+x2+x+1 = 0.

1826 – A geometria não euclidiana, é criada pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). Segundo ele, para que os teoremas de Euclides sejam válidos é desnecessário supor que só dá para construir uma paralela a uma reta passando por um ponto fora dessa reta. Esse conceito vinha sendo um dos alicerces da geometria desde cerca de 300 a.C. A partir da idéia oposta, de que é possível construir infinitas paralelas a uma reta passando por um ponto fora dessa reta, Lobachevsky elabora a nova geometria.

1874 – Demonstra-se que existem números maiores que o infinito. Eles são chamados pelo alemão Georg Cantor (1845-1918) de transfinitos. Na série dos números inteiros, que vai de 1, 2, 3 até o infinito, existem infinitos números. Em outra seqüência, além do 1, 2, 3 até o infinito, entram também todas as suas frações (como o 1,0001, por exemplo). Dá para provar que essa seqüência é maior que a primeira série. Então, como essa é infinita, a quantidade de números da segunda seqüência é maior que o infinito.

1899 – A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação, mais de dois milênios atrás. O autor é o alemão David Hilbert (1862-1943), que analisa todas as novidades incorporadas à matemática nos séculos anteriores e a geometria é reescrita.


1931 – O alemão Kurt Gödel (1906-1978) demonstra que, dentro de qualquer sistema matemático, como a álgebra ou a geometria, sempre existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

1977 – A Teoria do Caos começa a se tornar uma disciplina bem estruturada. Diversos pesquisadores trabalham para aprimorá-la, especialmente o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945-). Essa teoria surge do estudo de certas figuras geométricas especiais. Uma árvore cujo tronco se divide em dois galhos principais, e cada um deles, por sua vez, reparte-se em dois ramos menores e assim por diante, contém cópias de si mesma dentro dela e recebe o nome de fractal. Muita coisa na natureza se comporta como um fractal – como os redemoinhos, que contêm redemoinhos menores dentro deles. A Teoria do Caos ensina que todos os fenômenos desse tipo parecem caóticos, mas podem ser colocados em fórmulas matemáticas.

1993 – O matemático inglês Andrew Wiles (1952-) consegue provar o último teorema de Fermat. Esse teorema lida com expressões do tipo 32+42 = 52 (9+16 = 25) em que o 3, o 4 e o 5 estão elevados ao expoente 2. Fermat afirma, em 1637, que esse tipo de igualdade só dá certo quando o expoente é 2. Ele diz ter a prova dessa descoberta, mas não a apresenta. Até hoje há dúvida sobre a declaração do francês.