Lista de exercícios - Equação do 1º grau

Prof. Esp. Sidney Santos
Colégio Jean Piaget
Nome: Ano:

1) Determine as raízes das equações de primeiro grau abaixo:

a) 18x - 43 = 65

b) 10y - 5(1+y) = 3(2y-2)

c) 4x + 2 = 12

d) 5/x - 2 = 1/4

2) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

3) (FUVEST) Se x(1 - x) = 1/4, então:

4) Se (x - 2)/y = 4 e y -1 = 0, então x é?

em construção

Donald no país da matemática

em construção

História: linha do tempo

1800 a.C. – Os sumérios, habitantes do Oriente Médio, desenvolvem o mais antigo sistema numérico conhecido. Em vez dos dez algarismos de hoje (0, 1, 2, 3... até 9), o sistema caldeu tinha 60 símbolos. É por isso que uma hora, desde então, é dividida em 60 minutos, e o dia e a noite têm 12 horas (12 é a quinta parte de 60). Pelo mesmo motivo, o ano é dividido em 12 meses. Já na geometria, o círculo tem 360º, que é seis vezes 60.

520 a.C. – O matemático grego Eudoxo de Cnido (400?-350? a.C.) cria uma definição para os números irracionais. São frações que não podem ser escritas na forma usual, como quatro quintos (quatro dividido por cinco) ou três quartos. Um exemplo é a raiz quadrada de 2; não existem dois números que, divididos um pelo outro, dêem esse resultado. Para escrever esse número é preciso usar infinitos algarismos. De maneira aproximada, ele vale 1,4142135.

300 a.C. – A geometria da Antiguidade chega ao ápice com o grego Euclides. Vivendo em Alexandria, ele sistematiza todos os conhecimentos acumulados até então por seu povo nos dois séculos anteriores, além de diversos teoremas que ele mesmo demonstra. O resultado é o livro Elementos.

250 – Fugindo da tradição grega, que era centrada na geometria, Diofante (século III) inicia um estudo rigoroso de diversos problemas numa área da matemática hoje chamada de álgebra. Uma questão típica algébrica (muito simples): se um homem tem certa idade e seu filho, de 5 anos, a metade dessa idade menos cinco anos, quantos anos tem o pai? Em forma matemática, essa pergunta se escreveria: x = x/2-5.

500 – O algarismo zero até essa época sempre fica subentendido ao se escrever um número que precise dele (como o 10, no sistema atual). Um indiano, cujo nome se perdeu na história, cria um símbolo para o zero. Os árabes começam a usá-lo por volta do ano 700. Em 810, ele aparece explicitamente num texto do sábio Muhammad ibn Al-Khwarizmi (780-850).

1202 – O matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170?-1240) é o primeiro europeu a usar os algarismos arábicos, que são empregados atualmente para escrever os números. Até então, os europeus utilizavam os algarismos romanos, como o I (que vale 1), o V (5) e o X (10). Fibonacci também adota o zero, que os europeus já conheciam, mas, na prática, não empregavam.

1535 – Encontra-se um método para resolver as equações algébricas de terceiro grau. São aquelas em que a incógnita aparece elevada ao cubo, como na equação x3 + 1 = 0. A autoria da fórmula é disputada por dois italianos: Niccolò Tartaglia (1499-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576).

1545 – Primeira sugestão de que certas contas podem ter como resultado um número negativo. A proposta causa espanto porque, na época, parece absurdo algo ser menor que nada, ou seja, zero. O italiano Geronimo Cardano, no entanto, usa os novos números para resolver problemas como o de alguém que gastou mais do que possui no banco, tendo então saldo negativo. Assim, ele resolve equações que até então ficavam sem resposta.

1551 – Surge a trigonometria, que facilita muito os cálculos, especialmente os celestes, em que é preciso somar, diminuir ou multiplicar valores de ângulos. A trigonometria estabelece regras que transformam os ângulos em números comuns. Exemplo: em vez de um ângulo de 30º, pode-se falar no seno de 30, que vale 0,5. O criador do novo cálculo é o alemão Georg Joachim Iserin von Lauchen (1514-1576), conhecido como Rético, aluno do astrônomo polonês Nicolau Copérnico.

1591 – O francês François Viète (1540-1603) abandona a prática de escrever matemática por meio de palavras. Até então as equações, os números e as incógnitas eram apresentados por extenso, de maneira trabalhosa e confusa. Viète passa a representar suas equações utilizando como símbolos as letras do alfabeto. Uma soma, por exemplo, fica assim: x+y = z. Isso torna a resolução de problemas extremamente mais fácil.

1614 – Publica-se a primeira tábua de logaritmos. Seu autor é o escocês John Napier (1550-1617). O logaritmo simplifica cálculos muito trabalhosos por meio do uso de expoentes, como 2 ao cubo, que significa 2 vezes 2, vezes 2. Ou seja, 8.


1637 – Surge a geometria analítica, desenvolvida pelo filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1596-1650). A nova disciplina é uma espécie de mistura entre a álgebra e a geometria, pois Descartes ensina a transformar pontos, retas e circunferências em números. Depois mostra como fazer contas com as figuras geométricas. Na geometria analítica, um ponto pode ser escrito como um par de números na forma (1, 2). Uma reta pode ser uma equação como x + y = b.

1654 – O cálculo das probabilidades é criado pelos matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662), que também era físico. Curiosamente, eles desenvolvem esse novo ramo da matemática quase como uma diversão, a partir de um problema levado a eles por um jogador de dados, Chevalier de Mere. De Mere pergunta se é possível prever os resultados de um jogo. Os matemáticos dizem que sim – pelo menos em certas circunstâncias e até certo ponto.

1669 – O físico inglês Isaac Newton (1642-1727) inventa o cálculo diferencial e integral. Com ele torna-se possível calcular a área ou o volume de qualquer figura geométrica, não importa a sua forma. Até então, para cada figura era preciso criar uma fórmula diferente.

1685 – Criação dos chamados números imaginários. Eles aparecem quase como um complemento dos números negativos. Durante muito tempo, ninguém sabe dizer qual seria a raiz quadrada de -1 (menos um). Essa conta não dá -1, pois -1 é raiz de 1 (porque -1 vezes -1 é 1). Ela também não dá 1, que também é raiz de 1. O inglês John Wallis (1616-1703) resolveu a questão criando um número, chamado i, que é a raiz quadrada de -1. Quer dizer que i vezes i dá -1. O i é o mais simples dos números imaginários, que, apesar do nome, são tão verdadeiros quanto os outros números.

1744 – A família de números transcendentais entra para o mundo da matemática encontrada pelo suíço Leonard Euler (1707-1783). Euler estuda as chamadas equações algébricas, que possuem, por exemplo, a forma x2+x+1= 0. Percebe que elas têm todos os tipos de solução: números inteiros, imaginários, irracionais, frações etc. Mas nenhuma equação dessa categoria jamais dá, por exemplo, uma resposta igual a p (3,1416...). Hoje se sabe que existem infinitos números que nunca podem ser solução de uma equação algébrica. São os chamados transcendentais.

1822 – O desenvolvimento da geometria projetiva abre caminho para a geometria moderna. Esse novo ramo de estudo analisa as formas geométricas de vários ângulos diferentes. Assim, uma pirâmide vista de cima aparece como um quadrado; vista de lado torna-se um triângulo. Seu criador é o francês Jean Victor Poncelet (1788-1867).

1824 – O norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) descobre que é impossível resolver as equações de quinto grau. Durante anos, os matemáticos haviam procurado uma fórmula para chegar a um resultado. São equações em que a incógnita vem elevada à quinta potência, na forma x5+x4+x3+x2+x+1 = 0.

1826 – A geometria não euclidiana, é criada pelo russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). Segundo ele, para que os teoremas de Euclides sejam válidos é desnecessário supor que só dá para construir uma paralela a uma reta passando por um ponto fora dessa reta. Esse conceito vinha sendo um dos alicerces da geometria desde cerca de 300 a.C. A partir da idéia oposta, de que é possível construir infinitas paralelas a uma reta passando por um ponto fora dessa reta, Lobachevsky elabora a nova geometria.

1874 – Demonstra-se que existem números maiores que o infinito. Eles são chamados pelo alemão Georg Cantor (1845-1918) de transfinitos. Na série dos números inteiros, que vai de 1, 2, 3 até o infinito, existem infinitos números. Em outra seqüência, além do 1, 2, 3 até o infinito, entram também todas as suas frações (como o 1,0001, por exemplo). Dá para provar que essa seqüência é maior que a primeira série. Então, como essa é infinita, a quantidade de números da segunda seqüência é maior que o infinito.

1899 – A geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação, mais de dois milênios atrás. O autor é o alemão David Hilbert (1862-1943), que analisa todas as novidades incorporadas à matemática nos séculos anteriores e a geometria é reescrita.


1931 – O alemão Kurt Gödel (1906-1978) demonstra que, dentro de qualquer sistema matemático, como a álgebra ou a geometria, sempre existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.

1977 – A Teoria do Caos começa a se tornar uma disciplina bem estruturada. Diversos pesquisadores trabalham para aprimorá-la, especialmente o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945-). Essa teoria surge do estudo de certas figuras geométricas especiais. Uma árvore cujo tronco se divide em dois galhos principais, e cada um deles, por sua vez, reparte-se em dois ramos menores e assim por diante, contém cópias de si mesma dentro dela e recebe o nome de fractal. Muita coisa na natureza se comporta como um fractal – como os redemoinhos, que contêm redemoinhos menores dentro deles. A Teoria do Caos ensina que todos os fenômenos desse tipo parecem caóticos, mas podem ser colocados em fórmulas matemáticas.

1993 – O matemático inglês Andrew Wiles (1952-) consegue provar o último teorema de Fermat. Esse teorema lida com expressões do tipo 32+42 = 52 (9+16 = 25) em que o 3, o 4 e o 5 estão elevados ao expoente 2. Fermat afirma, em 1637, que esse tipo de igualdade só dá certo quando o expoente é 2. Ele diz ter a prova dessa descoberta, mas não a apresenta. Até hoje há dúvida sobre a declaração do francês.