Racionalização

Primeira parte:



Segunda parte:



Terceira parte:



Quarta parte:

Radiciação

Fatoração Algébrica

Fatoração:





mmc e mdc entre expressões algébricas:

Cálculos algébricos

Expressões algébricas:



Monômios e Polinômios:



Produtos Notáveis:

Frações

Primeira parte:



Segunda parte:



Terceira parte:

Sistema de Medidas

Divisor de um número

Conheça as regras de divisibilidade



Descobrindo quias números são primos



Mímino múltiplo comum (mmc) e Máximo divisor comum (mdc)

Conjuntos e sua linguagem

Exercícios:

De onde surgiram os números

Potenciação

Propriedades da Potência:

Função do segundo grau

Função do primeiro grau

Funções

Polinômios

Números Complexos

Operações com números complexo:



Potência de i



Forma trigonométrica ou polar de um número complexo:



Multiplicação, divisão e radiciação de números complexos na forma trigonométrica:



Exercícios:

Equação do 2º grau

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Macete de Baskara!!!

Equação do 1º grau

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Regra de três Simples e Composta

Regra de três simples:



Regra de três composta:

Razão e proporção

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Juros Simples e Compostos

Juros Simples:



Juros Compostos:



Exercícios:

Porcentagem

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Geometria Espacial

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Exercícios Resolvidos:

Trigonometria

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,

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

· Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)
Observamos que:
4 = 2 x 2
8 = 4 x 2
16 = 8 x 2
- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);

· Representação Matemática:
q = a_n / a_n-1

· Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q <>

· Termo Geral da P.G.:
- a₂ = a₁ x q
- a₃ = a₂ x q ou a₃ = a₁ x q²
a_n = a₁ . q^n-1

· Três números em P.G.:

x/q , x , x.q

· Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a₆ = a₁ .q⁵
243= 1.q⁵
q = 3
Logo: (1,3,9,27,81,243);

· Soma dos Termos de uma P.G. finita:

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-1

· Soma dos Termos de uma P.G. infinita:

- Se expressões do tipo qⁿ quando: 0 n = 0 (Aproximadamente)
Sn = a₁ / 1-q

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução: n= 6

a₁ = 2

a₆ = 486

a₆ = a₁.q⁵

486 = 2 . q⁵

q = 3

Resposta: q = 3

2) Ache a progressão aritmética em que:

a₁ + a₂ + a₃ = 7

a₄ + a₅ + a₆ = 56

Resolução:

transformando, temos:

a₁ + a₁ .q + a₁. q² = 7 Þ a₁ (1 + q + q² ) = 7 I

a₄ + a₅ + a₆ = 56 Þ a₁.q³(1 + q + q² ) = 56 II

Dividindo-se II por I :

q³ = 8 Þ q = 2

de I vem:

a₁ (1 + 2 + 4) = 7 Þ a₁ = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3) Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:

a₁ = 3

a_n = 48

n = 3 + 2 = 5

Devemos, então, calcular q:

a_n = a₁.q^n-1

48 = 3 . q⁴

q = ±2

Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)

Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)

4) Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

Resolução:

a₁ = x

q = 3x/x= 3

a_n = 729x

S_n= 5465

Cálculo de n:

a_n= a₁q ^n-1

729x = x . 3 ^n-1 (veja que x ¹ 0)

729 = 3 ^-1

3⁶ = 3 ^n-1

n = 7

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-

5465 = x (3⁷ ? 1)/ (3 ? 1)

x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)

a₁ = 0,31

q = 0,01

S_n = a₁ / 1-q

S_{n =} 0,31/1-0,01

S_n= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99

Assista o vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=YYzPJxyw1-0 e http://www.youtube.com/watch?v=Vb5zPnJYzmk

Referências Bibliográficas:

Comunidade Fichário Online

Como surgiu a noção de número

Quando enfrentamos situações em que queremos saber "quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como surgiram os números?
Para responder a essa pergunta precisamos ter uma idéia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.
Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros de um grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população aumentava e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades.
Foi então que ele começou a cultivar plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás.
Os pastores de ovelhas tinham necessidades de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras.
Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência um a um.
Fazer correspondência um a um é associar a cada objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê, o homem resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência um a um. A correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o surgimento da noção de número.
Afinal, alguma coisa em comum existia entre o monte de pedras e o grupo de ovelhas: se a quantidade de pedras correspondia exatamente à quantidade de ovelhas, esses dois conjuntos tinham uma propriedade comum: o número de ovelhas ou pedras.
Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do que seus próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.
Entretanto, surgiu um novo problema: levantar dedos permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido levantados. Separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas não era muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.

Os primeiros registros de números

Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.
Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto.

Assista o vídeo:http://www.youtube.com/watch?v=Qh6wS2MWXLU

Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

Sejam as seqüências:
(2, 6, 10, 14, 18, 22, ...)
(30, 25, 20, 15, 10, 5, ...)

6 = 2+ 4
25 = 30+ (-5)

10 = 6+ 4
20 = 25+ (-5)

14 = 10+ 4
15 = 20+ (-5)

18 = 14+ 4
10 = 15+ (-5)

- Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo.

- Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA).

- A esse número fixo damos o nome de razão (r).

Representação matemática:

(a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...)r = a2 ? a3r = a3 ? a2 r = an ? an-1r = an+1 ? an

Classificação:

Uma PA pode ser:
a. crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2
b. decrescente: (r < r =" -2" r =" 0)">

Fórmula do termo geral de uma PA:

(a1, a2, a3, ....., an-1, an)
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
.....
an = a1 + (n-1)r
an = termo geral n = n-ésimo termo
a1 = primeiro termo
r = razão

Expressões Gerais:

1) n-ésimo número par positivo: an = 2n (n > 1)
2) n-ésimo número ímpar positivo: an = 2n - 1 ( n > 1)
3) soma dos n primeiros números pares positivos: PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)
4) soma dos n primeiros números ímpares positivos: PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n2
5) Três números em PAx - r, x, x + r
6) Cinco números em PAx - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r
7) Quatro números em PAx - 3r, x - r, x + r, x + 3r

· Interpolação Aritmética:

Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .

X , __ , __ , __ , Y

- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

· Propriedades da P.A.:

1. Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; an = an-1 + an-1 / 2
2. Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos; a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...

· Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a1 + an ) n / 2

Onde a1 é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.

Exemplos:

1) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Resolução: Observamos que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:

an = a1 + (n-1)r
620 = 25 + (n-1)5
n = 120

2) Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.

Indiquemos (a1, a2, a3) = (x-r ,x ,x+r)
1º número = x ? r
2º número = x
3º número = x + r

Façamos um sistema com duas variáveis (x e r):
(x - r) + x + (x + r) = 18
(x - r).x.(x + r) = 66
Daí, x = 6, r = ± 5
Fazendo r = 5 teríamos (1 , 6 , 11)
Fazendo r = -5 teríamos (11 , 6 , 1)
Os números pedidos são 1, 6 e 11.

3) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

Resolução:
an = a1 + (n-1)r
124 = 100 +4n - 4
n = 7

Como 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 - 2 = 5 meios.
Resposta: 5 meios

4) Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1 termo formam uma PA.

Resolução: Na PA temos
a1 = 1
an = x
Sn = 280
r = 6

Calculemos n usando a forma geral:
an = a1 + (n-1)r
x = 1 + (n-1)6
n = (x +5)/6

Vamos substituir na fórmula da soma
Sn = (a1 + an ) n / 2
280= (1 + x ) (x + 5) (1/6) (1/2)
x2 + 6x ? 3355 = 0
daí,
x´=55
x´´=-61
Como a PA é crescente, x = 55
Resposta x = {55}

Exercícios:

1) Dado o quinto termo igual a 100 e a razão igual a 10, calcule o primeiro termo.
2) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3 (D) 1/2 (E) 2
3) (Fatec 2003) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo . A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir um evento e todas comparecerem, responda:

a) ficarão vagos 140 lugares

b) ficarão vagos 64 lugares

c) faltarão 44 lugares

d) faltarão 120 lugares

e) não sobrarão nem faltarão lugares

Assista o Vídeo:


Outro exemplo acesse: http://www.youtube.com/watch?v=zbkYqqelW30

Referências Bibliográficas:

Comunidade Fichário Online

Um pouco de história: Poliedros Platônicos

Grandes filósofos e matemáticos dedicaram a vida ao estudo da geometria. Enquanto a escola pitagórica, por exemplo, tinha como lema "Tudo são números" a escola de Platão (a Academia) tinha escrito sobre a porta, "Não entre aqui ninguém que não seja geômetra".

Platão foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. A eles se referiu no seu dialogo "Timeu" pelo que esses cinco poliedros regulares passaram a ser designados por sólidos platônicos.
O conhecimento destes sólidos parece ter sido desencadeado num encontro com Arquitas que, em viagem à Cecília, no sul de Itália, encontraria Platão. Para este, o Universo era formado por um corpo e uma alma, ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.
I. Se fossem quadradas, teríamos.

o cubo - elemento terra.


II. Se fossem triângulos equiláteros, teríamos

o tetraedro - o elemento fogo.

o octaedro, - o elemento ar.

o icosaedro - o elemento água.


III. Se fossem pentágonos, teríamos

o dodecaedro - simbolizava o Universo.
Embora chamados Platónicos, Proclus atribuiu a construção destes poliedros a Pitágoras, supondo-se que é também a ele que se deve o teorema: Há somente cinco poliedros regulares.

Hoje sabe-se que o teorema só é verdadeiro para os poliedros regulares convexos. Alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, inspira-se nos poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos (Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra "The Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.
É também Kepler, que vai descobrir o primeiro poliedro regular côncavo, que é o dodecaedro estrelado, de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro.

No séc. XVIII, Louis Poinsot descobriu três novos poliedros regulares não convexos.

Há nove poliedros regulares e Cauchy provou que não existem mais.

Os poliedros regulares são:

Tetraedro

Hexaedro ou cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Veja o vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=TiJD0y3RLvY