Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.

Sejam as seqüências:
(2, 6, 10, 14, 18, 22, ...)
(30, 25, 20, 15, 10, 5, ...)

6 = 2+ 4
25 = 30+ (-5)

10 = 6+ 4
20 = 25+ (-5)

14 = 10+ 4
15 = 20+ (-5)

18 = 14+ 4
10 = 15+ (-5)

- Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo anterior somado de um número fixo.

- Toda seqüência que tiver lei de formação chama-se Progressão Aritmética (PA).

- A esse número fixo damos o nome de razão (r).

Representação matemática:

(a1, a2, a3, a4, a5, ... an-1, an, an+1, ...)r = a2 ? a3r = a3 ? a2 r = an ? an-1r = an+1 ? an

Classificação:

Uma PA pode ser:
a. crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2
b. decrescente: (r < r =" -2" r =" 0)">

Fórmula do termo geral de uma PA:

(a1, a2, a3, ....., an-1, an)
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
.....
an = a1 + (n-1)r
an = termo geral n = n-ésimo termo
a1 = primeiro termo
r = razão

Expressões Gerais:

1) n-ésimo número par positivo: an = 2n (n > 1)
2) n-ésimo número ímpar positivo: an = 2n - 1 ( n > 1)
3) soma dos n primeiros números pares positivos: PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)
4) soma dos n primeiros números ímpares positivos: PA = (1,3,5,...,2n-1): Sn = n2
5) Três números em PAx - r, x, x + r
6) Cinco números em PAx - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r
7) Quatro números em PAx - 3r, x - r, x + r, x + 3r

· Interpolação Aritmética:

Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .

X , __ , __ , __ , Y

- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

· Propriedades da P.A.:

1. Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; an = an-1 + an-1 / 2
2. Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos; a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ...

· Soma dos termos de uma P.A. Finita:

Sn = (a1 + an ) n / 2

Onde a1 é o primeiro termo, an o último termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.

Exemplos:

1) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Resolução: Observamos que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:

an = a1 + (n-1)r
620 = 25 + (n-1)5
n = 120

2) Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.

Indiquemos (a1, a2, a3) = (x-r ,x ,x+r)
1º número = x ? r
2º número = x
3º número = x + r

Façamos um sistema com duas variáveis (x e r):
(x - r) + x + (x + r) = 18
(x - r).x.(x + r) = 66
Daí, x = 6, r = ± 5
Fazendo r = 5 teríamos (1 , 6 , 11)
Fazendo r = -5 teríamos (11 , 6 , 1)
Os números pedidos são 1, 6 e 11.

3) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

Resolução:
an = a1 + (n-1)r
124 = 100 +4n - 4
n = 7

Como 7 é o número total de termos, devemos interpolar 7 - 2 = 5 meios.
Resposta: 5 meios

4) Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos do 1 termo formam uma PA.

Resolução: Na PA temos
a1 = 1
an = x
Sn = 280
r = 6

Calculemos n usando a forma geral:
an = a1 + (n-1)r
x = 1 + (n-1)6
n = (x +5)/6

Vamos substituir na fórmula da soma
Sn = (a1 + an ) n / 2
280= (1 + x ) (x + 5) (1/6) (1/2)
x2 + 6x ? 3355 = 0
daí,
x´=55
x´´=-61
Como a PA é crescente, x = 55
Resposta x = {55}

Exercícios:

1) Dado o quinto termo igual a 100 e a razão igual a 10, calcule o primeiro termo.
2) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3 (D) 1/2 (E) 2
3) (Fatec 2003) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo . A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir um evento e todas comparecerem, responda:

a) ficarão vagos 140 lugares

b) ficarão vagos 64 lugares

c) faltarão 44 lugares

d) faltarão 120 lugares

e) não sobrarão nem faltarão lugares

Assista o Vídeo:


Outro exemplo acesse: http://www.youtube.com/watch?v=zbkYqqelW30

Referências Bibliográficas:

Comunidade Fichário Online